Racine et factorisation d'un polynôme (4) - Corrigé

Énoncé

Soit $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{C}$ par :  $P(z)=z^3-8$ .

1. Trouver une racine évidente de $P$ .

2. En déduire une factorisation de $P$ dans $\mathbb{C}$ sous la forme d'un produit de deux polynômes de degré au moins 1.

3. En déduire une factorisation de $P$ dans $\mathbb{C}$ sous la forme d'un produit de trois polynômes de degré 1.

Solution

1. $P(2)=2^3-8=0$ , donc $2$ est une racine de $P$ .

2. On cherche $a$ , $b$ et $c$   des réels tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z-2)(a{z}^2+bz+c)$ .
On trouve  $P(z)=(z-2)(z^2+2z+4)$ .

3. Après résolution de $z^2+2z+4=0$ , on trouve   $P(z)=(z-2)(z-(-1-i\sqrt{3}))(z-(-1+i\sqrt{3}))$ .

Remarque  

Pour $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=0⟺z^3=8⟺{\left({\displaystyle \frac{z}{2}}\right)}^3=1⟺{\displaystyle \frac{z}{2}}\in \{1;{\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}};{\text{e}}^{\frac{4i\pi }{3}}\}$ , et on retrouve ainsi la factorisation de $P$ .